Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных статистических параметров.
Содержание
Доверительный интервал представляет собой диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных статистических параметров.
Основные понятия
| Термин | Определение |
| Доверительный уровень | Вероятность (обычно 90%, 95% или 99%), с которой интервал содержит параметр |
| Стандартная ошибка | Мера изменчивости выборочной статистики |
| Критическое значение | Z- или t-значение, соответствующее доверительному уровню |
Формула расчета доверительного интервала
Доверительный интервал = Точечная оценка ± (Критическое значение × Стандартная ошибка)
Пошаговый расчет для среднего значения
1. Определение параметров
- Вычислите выборочное среднее (x̄)
- Рассчитайте стандартное отклонение (s)
- Определите объем выборки (n)
- Выберите доверительный уровень (1-α)
2. Расчет стандартной ошибки
SE = s/√n
3. Выбор критического значения
| Доверительный уровень | Z-значение |
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.960 |
| 99% | 2.576 |
4. Вычисление границ интервала
Нижняя граница = x̄ - (Z × SE)
Верхняя граница = x̄ + (Z × SE)
Особенности для малых выборок
- При n < 30 используйте t-распределение вместо нормального
- Степени свободы = n - 1
- Критические значения берутся из таблицы t-распределения
Пример расчета
- Дано: x̄ = 50, s = 10, n = 100, доверительный уровень 95%
- SE = 10/√100 = 1
- Z = 1.960 (для 95%)
- Доверительный интервал: 50 ± (1.960 × 1) = [48.04, 51.96]
Доверительные интервалы для других параметров
| Параметр | Формула |
| Доля | p̂ ± Z√(p̂(1-p̂)/n |
| Разность средних | (x̄₁-x̄₂) ± Z√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) |
| Коэффициент корреляции | Преобразование Фишера |
Программное обеспечение
- R: функция confint()
- Python: scipy.stats.norm.interval()
- Excel: ДОВЕРИТ.НОРМ() или ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
- SPSS: Анализ → Описательные статистики → Проверка
Заключение
Расчет доверительных интервалов является важным инструментом статистического анализа, позволяющим оценить точность выборочных оценок. Правильное применение соответствующих формул и учет особенностей распределения данных обеспечивают надежность статистических выводов.
